4 Fragen zu Natürliche Zahlen

Um zu verstehen, warum beim Runden auf die nächsten Hunderter sowohl die Zahl 300 als auch die Zahl 12.800 gleich viele natürliche Zahlen ergeben, schauen wir uns die Rundungsreg an. 1. **Rundung auf Hunderter**: Bei der Rundung auf Hunderter wird die letzte Ziffer (die Zehnerstelle) betrachtet. Wenn diese Ziffer 5 oder größer ist, wird aufgerundet; ist sie kleiner als 5, wird abgerundet. 2. **Zahlen, die auf 300 gerundet werden**: - Die Zahlen, die auf 300 gerundet werden, liegen im Bereich von 250 bis 349. - Das bedeutet, die natürlichen Zahlen, die auf 300 gerundet werden, sind: 250, 251, 252, ..., 349. - Das sind insgesamt 100 Zahlen (349 - 250 + 1 = 100). 3. **Zahlen, die auf 12.800 gerundet werden**: - Die Zahlen, die auf 12.800 gerundet werden, liegen im Bereich von 12.750 bis 12.849. - Das bedeutet, die natürlichen Zahlen, die auf 12.800 gerundet werden, sind: 12.750, 12.751, 12.752, ..., 12.849. - Auch hier sind es insgesamt 100 Zahlen (12.849 - 12.750 + 1 = 100). Zusammenfassend ergibt sich, dass sowohl für die Zahl 300 als auch für die Zahl 12.800 jeweils 100 natürliche Zahlen existieren, die auf diese Werte gerundet werden.

Um zu zeigen, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets zwei Zahlen auswählen lassen, deren Differenz durch 4 teilbar ist, nutzen wir den Satz der Reste. Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 4 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1, 2 und 3. Das bedeutet, dass es insgesamt 4 verschiedene Klassen von Resten gibt. Wenn du nun fünf natürliche Zahlen betrachtest, müssen mindestens zwei dieser Zahlen denselben Rest haben, da es nur 4 Restklassen gibt. Wenn zwei Zahlen denselben Rest \( r \) haben, dann ist ihre Differenz \( a - b = r - r = 0 \), was durch 4 teilbar ist. Somit lässt sich aus fünf natürlichen Zahlen immer mindestens ein Paar finden, dessen Differenz durch 4 teilbar ist.

Um die geordneten Paare natürlicher Zahlen \((x, y)\) zu finden, bei denen das Produkt \(xy\) genau 8-mal so groß ist wie die Summe \(x + y\), stellen wir die Gleichung auf: \[ xy = 8(x + y) \] Diese Gleichung kann umgeformt werden: \[ xy - 8x - 8y = 0 \] Um diese Gleichung zu lösen, können wir sie umstellen: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Das lässt sich als Produkt darstellen: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Nun müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \(x\) und \(y\) natürliche Zahlen sind. Die positiven Teiler von 64 sind: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Für jeden Teiler \(d\) von 64 setzen wir \(x - 8 = d\) und \(y - 8 = \frac{64}{d}\). Daraus ergeben sich die Werte für \(x\) und \(y\): \[ x = d + 8 \] \[ y = \frac{64}{d} + 8 \] Nun berechnen wir die Paare: 1. \(d = 1\): \(x = 1 + 8 = 9\), \(y = 64 + 8 = 72\) → \((9, 72)\) 2. \(d = 2\): \(x = 2 + 8 = 10\), \(y = 32 + 8 = 40\) → \((10, 40)\) 3. \(d = 4\): \(x = 4 + 8 = 12\), \(y = 16 + 8 = 24\) → \((12, 24)\) 4. \(d = 8\): \(x = 8 + 8 = 16\), \(y = 8 + 8 = 16\) → \((16, 16)\) 5. \(d = 16\): \(x = 16 + 8 = 24\), \(y = 4 + 8 = 12\) → \((24, 12)\) 6. \(d = 32\): \(x = 32 + 8 = 40\), \(y = 2 + 8 = 10\) → \((40, 10)\) 7. \(d = 64\): \(x = 64 + 8 = 72\), \(y = 1 + 8 = 9\) → \((72, 9)\) Die geordneten Paare natürlicher Zahlen, bei denen das Produkt genau 8-mal so groß ist wie die Summe, sind also: \((9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9)\).

Um die Menge \( B \) zu bestimmen, betrachten wir die gegebene Bedingung: \[ B = \{ x \in \mathbb{R} : \frac{x}{2} = n \land n \in \mathbb{N} \land n < 10 \} \] Zuerst identifizieren wir die natürlichen Zahlen \( n \), die kleiner als 10 sind. Diese sind: \[ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \] Für jedes dieser \( n \) können wir \( x \) berechnen, indem wir die Gleichung \( \frac{x}{2} = n \) umstellen: \[ x = 2n \] Nun setzen wir die Werte von \( n \) ein: - Für \( n = 1 \): \( x = 2 \cdot 1 = 2 \) - Für \( n = 2 \): \( x = 2 \cdot 2 = 4 \) - Für \( n = 3 \): \( x = 2 \cdot 3 = 6 \) - Für \( n = 4 \): \( x = 2 \cdot 4 = 8 \) - Für \( n = 5 \): \( x = 2 \cdot 5 = 10 \) - Für \( n = 6 \): \( x = 2 \cdot 6 = 12 \) - Für \( n = 7 \): \( x = 2 \cdot 7 = 14 \) - Für \( n = 8 \): \( x = 2 \cdot 8 = 16 \) - Für \( n = 9 \): \( x = 2 \cdot 9 = 18 \) Die Menge \( B \) besteht also aus den Werten: \[ B = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 \} \]